第 8 回繰り返し、配列

本日の内容

8-1. 前回の復習---二次方程式の解法(演習7-6)
8-2. Circuit Maker
8-3. 漸化式と繰り返し
8-4. 配列

8-1. 前回の復習---二次方程式の解法(演習7-6)

判別式 D=b*b-4*a*c が 0 より大きい場合

解は二つの実数になるので、次の値を計算するだけです。

      -b + √D
x1 = ----------
        2a

      -b - √D
x2 = ----------
        2a

2x²-5x-3=0 の解は D=(-5)²-4*2*(-3)=1 より、

     5+√1
x = ---------
      2*2

      5+1
  = -------
       4

       3
  =  ----
       2

または
     5-√1
x = -------
     2*2

      5-1
  = -------
       4

  = 1

D=0 の時

解は一つの実数だけなので次の値を計算するだけです。

     -b
x = ----
     2a

例えば x²+2x+1=0 の解は D=2²-4*1*1=0 より、

   -2±√0
x= ---------
    2*1

     -2
  = ----
      2
             
  =  -1

D が負の場合

解は二つとも複素数になります。√D が虚数になるので、実部と虚部はそれぞれ次のようになります。


       -b
実部 = ----
       2a

        √(-D)
虚部 = --------
          2a

例えば x²-2x+5=0 の解は D=(-2)²-4*1*5=-16 より、

     2 + √(-16)
x = ------------
      2*1
     2 ± 4√-1
  = ------------
         2
             
  =  1 ± 2i

C言語では複素数をそのままでは扱えないので、実部(-b/(2*a))と虚部(√ (-D)/(2*a))をそれぞれ求めてから、「実部 ± 虚部 i」と表示するしかありません。

8-2. Circuit Maker

電気回路

演習8-1

次の合成抵抗を求めなさい。

ヒント

「Devices→Browse... x」で部品の一覧を表示する画面にし、 Major Device Class から Resistors を選択します。 Minor Device Class から Resistors を選択します。 Device Symbol から Resistor を選択します。 (以後、この操作を Major Device Class, Minor Device Class, Device Symbol の順に (Resistors, Resistors, Resistor)と書きます)

「Place」ボタンを押すと、作業領域に画面が切り替わります。白い画面の中央付近を左クリックすると、抵抗を表す記号が表示されます。

抵抗の記号を指して右クリックして「Duplicate」を選択する。そして合計 3 本の抵抗を配置します。抵抗記号を右クリックして「Edit Device Data」を選びます。「Label-Value」という欄が抵抗値を表しますので、ここで抵抗値を指定します。
部品表から (Analog, Instruments, Multimeter) を選び「Place」ボタンを選び適当な位置で左クリックします。すると、メータの種類を聞く画面が出るので、「Ohms」を選択し、「Ok」を押す。
シミュレーションの都合上、基準となる 0 V の点が必要なので、(Analog, Power, Ground) を配置します。
「Options→Arrow/Wire」を選び、部品の端同士を結び、回路を完成させます。完成図は次のようになります。
「Simulation」を押して、「Analog Mode」と表示されていることを確認します。もし、「Digital Mode」が表示されている時は、この「Digital Mode」を選択すると「Analog Mode」になります。
「Simulation → Run」を選ぶと画面に合成抵抗値が表示されます。

演習8-2

下の回路図で1Ωの抵抗を流れる電流の大きさを求めなさい。

ヒント

電池は(Anarog, Power, Battery)。電流を測定するにはマルチメータで current を指定します。完成図は次のようになります。

電子回路

演習8-3

下の回路図で、A 点と B 点の電圧を調べ、増幅率を求めなさい。

ヒント

部品を配置して回路図を作成します。トランジスタは(Transistors, BJTs, NPN TransB) を選び、下のモデル選択画面から「2N2222A」を選びます。

1kHz を入力するには、(Analog, Instruments, Signal Gen) を選びます。電圧の幅を入力するには、Signal Gen の記号を右クリックし、「Edit Signal Generator」を選びます。そして、「Peak Amplitude」の欄に 100mV を入力します。
「Simulation → Run」を選び、シミュレーションを開始します。
電圧を測りたい点を左クリックすると、画面下に観測された値がグラフで表示されます。別の点を「Shift」キーを押しながら左クリックすると、グラフが重なって表示されます。
グラフの右側にカーソルがありますので、それを移動してグラフの値を読みとり、出力電位差を計測します。

演習8-4

下の回路図で、A 点と B 点の電圧を調べ、増幅率を求めなさい。

参考文献

鈴木雅臣「実験研究トランジスタ回路の誕生」トラ技ORIGINAL No.1. CQ出版 (1989)

ディジタル回路

演習8-5

二進数一桁(つまり 0 か 1)を二つ入力して、足し算を実現するディジタル回路を作りなさい。但し、真理値表は次のとおりです。

x	y	z₁	z₀
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

ヒント

半加算器の回路は次のようになります。
(Digital, Gates, 2-In AND) と (Digital, Gates, 2-In XOR) を配置します。出力に (Digital Animated, Displays, Logic Display) を二つ、入力用に (Digital, Power, Logic Switch) を二つ配置します。
回路を配線します。完成図は次のようになります。
「Simulation」を押して、「Digital Mode」と表示されていることを確認します。もし、「Analog Mode」が表示されている時は、この「Analog Mode」を選択すると「Digital Mode」になります。
「Simulation → Run」を選びます。スイッチを入り切りすると、それに応じてスイッチの値の和に対応するランプが光ります。

演習8-6

以下に示す全加算器を利用して、二進数二桁を二つ入力する足し算回路を作りなさい。全加算器とは 3 つの一桁の二進数の入力の和を二桁の二進数として出力するものである。

ヒント

筆算と同じ要領で下の桁から順に足していく。その時繰り上がりの処理もする。つまり、次のような回路を作ることになる。
最下位桁は半加算器で計算する。あとは下の桁の繰り上がりと、その桁の二つの数の合わせて三つの数の足し算を全加算器で行う。
表示に Logic Display を使う代わりに、 (Digital Animated, Displays, Hex Display) を使用しても良い。

8-3. 漸化式と繰り返し

漸化式

数学では、数の列に対して、添字に番号をつけた文字を割り当てます。例

a₀=0,
a₁=1, 
a₂=2, 
a₃=3, 
a₄=4, 
a₅=5,
...

これに対して、0 番目の値、 1 番目の値と、全ての値を具体的に指定せず、 i番目の値を i を使用して表すことがあります。このような表し方を一般項と言います。上の例だと、一般項はa_i=i となります。

演習8-7

次の数列の一般項を求めなさい。

b₀=2, b₁=4, b₂=6, b₃=8, b₄=10, ...
c₀=1, c₁=3, c₂=5, c₃=7, c₄=9, ...
d₀=10, d₁=9, d₂=8, d₃=7, d₄=6, ...

数列の別の定義として、「a₀の値」と、「a_i+1の値を a_iを使った式」で定義するという方法があります。この式を漸化式と言います。また、漸化式から一般項を求めることを「漸化式を解く」と言います。

例:
  a₀=0
  a_i+1=a_i+1

この場合、この漸化式を解くと a_i=i となります。なお、プログラミングでは逆に一般項から漸化式を導くことをすることがあります。

演習8-8

次の漸化式を解きなさい(数学的な解法で解く必要はない。数列をいくつか書き出してみて一般項を予想するだけで良い)。

```
  a₀=2
  a_i+1=a_i+2
```
```
  a₀=1
  a_i+1=a_i+2
```
```
  a₀=10
  a_i+1=a_i-1
```
```
  a₀=1
  a_i+1=a_i×2
```

演習8-9

次の数列の漸化式を求めなさい。

b₀=2, b₁=4, b₂=6, b₃=8, b₄=10, ...
c₀=1, c₁=3, c₂=5, c₃=7, c₄=9, ...
d₀=10, d₁=9, d₂=8, d₃=7, d₄=6, ...

a₀+ a₁+ ...+ a_n-1 を次のように表します。

n-1
 Σ a_i
i=0

Σの中には一般項を書き、下には添字の始めの値、上には最後の値を書きます。例えば 1 + 3 + 5 + ... + 99 は次のように書きます。

 49
 Σ (2i+1)
i=0

但し、(添字、開始時の値、終了時の値)が(i,1,n)など明らかな時、Σ a_i などと省略して書く場合があります。また次の漸化式が成り立ちます。

n+1
 Σ a_i = a₀+a₁+...+a_n+a_n+1
i=0

         n
       = Σ a_i + a_n+1
        i=0

つまり、第 n 項までの和を S_n で表すと次の漸化式が成り立ちます。

S₀  = a₀
S_n+1 = S_n+a_n+1

繰り返し

C 言語でもっとも基本的な繰り返し文は while 文です。 while 文は次のような構文になってます。

while(条件式){
  繰り返し文
}

条件式が正しい限り繰返し文を実行し続けます。一方、始めに条件式が成立しなければ繰返し文は一回も実行されません。条件式が成立すると繰返し文が実行されますが、もし繰返しているうちに条件式が変わらないと永遠に繰り返しが起きてしまいます。繰り返しの基本的なテクニックとして、次のような変数を使用します。

条件式の中に現れる。
繰返し文の中で値が変更される。

このような変数のことをループ変数と言います。

演習8-10

次のプログラムを走らせなさい。また、このプログラムを改造して「●」を 10 個表示するプログラムを作りなさい。

#include <stdio.h>
main(){
  int a;
  a=0;
  while(a<5){
    printf("○");
    a=a+1;
  }
  printf("\n");
}

「a=a+1」という記法は、「次の a は、今の a に 1 を足したもの」という意味になります。つまりこれは漸化式 a_i+1=a_i+1 と同じ役割になります。始めに「a=0」としておいて、「a=a+1」を繰り返すと、「a=a+1」を繰り返した回数だけ a が増えていきます。繰り返し回数を i とすると、 a の値は i になります。

演習8-11

下のプログラムを走らせなさい。また、演習8-9の答えを参考にして、このプログラムを改造し、ループ変数の値が以下のようになるようにしなさい。

1, 3, 5, 7, 9
10, 9, 8, 7, 6

#include <stdio.h>
main(){
  int b;
  b=2;
  while(b<=10){
    printf("ループ変数 = %d\n",b);
    b=b+2;
  }
}

一方、ループ変数を使用して数列の一般項を書くと、数列を表示することができます。

演習8-12

下のプログラムを走らせなさい。また、このプログラムを改造して、次を表示するようにしなさい(余裕のある人は最後のカンマ「,」が出ないようにしなさい)。

1, 3, 5, 7, 9, ... 19
10, 9, 8, ... , -10
1, 2, 4, 8, 16, ... 1024

#include <stdio.h>
main(){
  int i,b;
  i=0;
  while(i<10){
    b=2*(i+1);
    printf("%d, ",b);
    i=i+1;
  }
  printf("\n");
}

演習8-13

以下の三角関数の表を出力するプログラムを完成させなさい。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
main(){
  int i;
  float x,y;
  i=0;
  while(i<20){
    x = /* x の値は 0 から 2πの間 をとるようにする。 */
    y = /* sin x の値を入れる */
    printf("x=%f, sin(x)=%f\n",x,y)
    /* i の値を更新する */
  }
}

演習8-14

フィボナッチ数列を(20個)表示するプログラムを書きなさい。但し、フィボナッチ数列とは次のような数列である。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 53, ...

a₀=1
a₁=1
a_i=a_i-1+a_i-2 (i≧2)

演習8-15

画面につぎのようなパターンを出力するプログラムを作りなさい。

●
●●
●●●
●●●●
●●●●●
●●●●●●

8-4. 配列

宣言文での初期化

C 言語では宣言文で変数の値を代入(初期化)できます。

int i=0;
float a=2.3;
char d='F';

配列

C 言語で数列を取り扱うために配列という概念が用意されています。添字は角括弧「[ ]」で括ります。つまり、a₀, a₁, a₂ はそれぞれ a[0], a[1], a[2] と表します。 a_iは a[i] と表します。ただし、添字に使用できる変数は整数型(int)だけです。さらに添字には a[i+1] や b[j*2] など、整数を値に持つ式を書くことができます。

配列を使う時、宣言は次のようにします。

int a[5];
char b[3];
float c[4];

するとそれぞれ、次の変数が使えるようになります。

a[0], a[1], a[2], a[3], a[4]
b[0], b[1], b[2]
c[0], c[1], c[2], c[3]

プログラムでは、配列はそれぞれ普通の変数として使用することができます。但し、実行中に配列の値をまとめて代入することはできません。一方、初期化する際には次のようにまとめて値をセットできます。

int a[5]={ 3, 4, 6, 0, -1 };

このようにすると次のように値が代入されます。

a[0]= 3,
a[1]= 4,
a[2]= 6,
a[3]= 0,
a[4]=-1

さらに値をまとめてセットする場合、要素数の指定を省略することができます。

float b[]={ 1.3, -3e-2, -5.0 };