第 14 回 量子コンピュータ

本日の内容

• 14-1. 量子コンピュータ

14-1. 量子コンピュータ

qubit とテンソル積

量子コンピュータでは、1bitの情報、つまり、0または1のどちらかを保持する 情報の単位をqubitと呼ぶ。 具体的には0 を表す現象と 1 を表す現象のどちらかを観測できるような物理 現象で情報を保持する。 そのため、qubit は以下のように表される (この 0と1は情報の表現であって、数学の0とは異なることに注意)。

状態 0 を $|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ とし、 $|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ とし、 これをパウリの σ_zで観測すると、 0 を観測する確率が ${\left|a\right|}^2$ , 1 を観測する確率が ${\left|b\right|}^2$ となる。

複数の状態 $\mathit{\psi }$ , $\mathit{\phi }$ に対して、テンソル積 $|\mathit{\psi }⟩\otimes |\mathit{\phi }⟩$ を考える。 これは、内積空間 V, W に対して、それぞれの正規直交基底が $\left\{|{\mathit{\xi }}_1⟩,...,|{\mathit{\xi }}_n⟩\right\}$ , $\left\{|{\mathit{\eta }}_1⟩,...,|{\mathit{\eta }}_m⟩\right\}$ である時、 $|\mathit{\psi }⟩=\sum _{i=1}^n{a}_i|{\mathit{\xi }}_i⟩$ , $|\mathit{\phi }⟩=\sum _{j=1}^m{b}_j|{\mathit{\eta }}_j⟩$ の時、 $|\mathit{\psi }⟩\otimes |\mathit{\phi }⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i{b}_j|{\mathit{\xi }}_i⟩\otimes |{\mathit{\eta }}_j⟩$ なお、この場合、基底どうしのテンソル積は単なる直積として考える。 また、テンソル積を $|\mathit{\psi }⟩|\mathit{\phi }⟩$ や、 $|\mathit{\psi },\mathit{\phi }⟩$ や、 $|\mathit{\psi }\mathit{\phi }⟩$ とも表す。

さらに、 $|{\mathit{\psi }}^{\text{'}}{\mathit{\phi }}^{\text{'}}⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_i^{\text{'}}{b}_j^{\text{'}}|{\mathit{\xi }}_i{\mathit{\eta }}_j⟩$ と $|\mathit{\psi }\mathit{\phi }⟩$ の内積を考える。 $⟨{\mathit{\xi }}_i{\mathit{\eta }}_j|{\mathit{\xi }}_k{\mathit{\eta }}_l⟩=⟨{\mathit{\xi }}_i|{\mathit{\xi }}_k⟩⟨{\mathit{\eta }}_j|{\mathit{\eta }}_l⟩$ と定義することにより、 $⟨\mathit{\psi }\mathit{\phi }|{\mathit{\psi }}^{\text{'}}{\mathit{\phi }}^{\text{'}}⟩=\sum _{i,j,k,l}{a}_i^{*}{b}_j^{*}{a}_k^{\text{'}}{b}_l^{\text{'}}⟨{\mathit{\xi }}_i|{\mathit{\xi }}_k⟩⟨{\mathit{\eta }}_j|{\mathit{\eta }}_l⟩=\sum _{i,j}{a}_i^{*}{b}_j^{*}{a}_i^{\text{'}}{b}_j^{\text{'}}=\left(\sum _i{a}_i^{*}{a}_i^{\text{'}}\right)\left(\sum _j{b}_j^{*}{b}_j^{\text{'}}\right)=⟨\mathit{\psi }|{\mathit{\psi }}^{\text{'}}⟩⟨\mathit{\phi }|{\mathit{\phi }}^{\text{'}}⟩$ また、 $\left(\widehat{A}\otimes \widehat{B}\right)\left(|\mathit{\psi }⟩\otimes |\mathit{\phi }⟩\right)=\left(\widehat{A}|\mathit{\psi }⟩\right)\otimes \left(\widehat{B}|\mathit{\phi }⟩\right)$

状態が複素ヒルベルト空間の元であれば、テンソル積で得られた複合状態は次 元が違うが複素ヒルベルト空間の元なので、量子力学の公理を満たすことが できる。

非クローン化定理

観測されていない任意の量子状態をコピーすることはできないことを示しま す。 これを示すには仮に二つの量子状態に対してコピーができたとき、必ず満たす べき状態が導かれるため、任意の状態のコピーにならないことを示します。 まず、状態 ψ と φ のコピーができるとします。これは初期の任意 状態 s があるユニタリ行列 U によって、 ψ や φ に遷移できるこ とを意味します。

この二つの内積を取ります。

つまり、どのようなユニタリ行列でもコピーができる状態は平行か直交かし かなく、任意の状態のコピーはできないということです。

量子コンピュータの基本構成

量子コンピュータの実現性を示すためには、基本的には論理回路の構成と同 様にします。 論理回路の構成を示すには、基本ゲートを定め、入力長を固定します。 そして、任意の入力長に対して、基本ゲートのみで回路の構成の仕方のアル ゴリズムを与えます。 （なお、回路の非存在を示すような場合、入力長毎のアルゴリズムを与えら れないような回路列も想定できるため、 uniformity, non-uniformity とい う区分を考えることがあります）。 通常の論理回路では、任意の2入力論理ゲートや、多入力 and, or, nand 回 路などを想定します。

しかし量子コンピュータでは、and, or, nand ゲートなど、入力数と出力数 が異なったり、逆演算ができないようなゲートは実現できません。 そこで、入出力ゲート数が同じで、可逆計算可能で、あらゆる計算を実現で きる Toffoli Gate をユニタリ行列で実現できることを示します。

Toffoli Gate は controlled-Controlled-not (CCNOT)とも呼ばれ、次の論 理式で与えられます

量子コンピュータは入力に対して、入力に対応した qubit を作り、さ らにその入力の長さに対応したユニタリ行列を構成し、qubit にユニタリ行 列を適用し、最終的に特定の qubit の観測を出力とします。 ユニタリ行列の積はユニタリ行列なので、原理的には一つのユニタリ行列で最 終状態にすることはできます。 しかし、そのユニタリ行列の複雑度を考える上で、ユニタリ行列を基本的な 操作の組み合わせに分解することを考えます。

さらに、基本的な操作の組み合わせで計算を定義する事自体が、 量子計算のプログラミングとなります。 以下は量子コンピュータの構成の流れになります：

1. qubit を2つの角度で表す Bloch球表現
2. qubit への任意のユニタリ行列演算が、3つの基本ユニタリ行列の積で表せ る
3. 制御NOT
4. Tofforiゲートのユニタリ行列による構成

2状態系のBloch 球表示

観測すると2つの状態のうちの一つが観測される状態 ψ は、2つの正規直交基底 $|0⟩$ と $|1⟩$ により、次で表される。

a を(広く使われている表記に合わせて) $a={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }cos\frac{\theta }{2}$ と置き、同じく bも $b={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta }sin\frac{\theta }{2}$ と置く。すると、状態の表記を次のように表示できる。

ここで、全体の係数 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$ は、観測の確率と関係なく、また、 $\phi =\beta -\alpha$ と置くことで、2状態系の状態を二つの角度を表す実数 $\left(\theta \phi \right)$ で表すことができる。 これは、半径1の三次元球の表面の極座標になるので、この2状態系を2実数 の極座標で表すことを Bloch 球表現と呼ぶ。

単一qubitに対するZ-Y変換(定理4.1)

パウリ行列について次の関数を定義する

単一qubitに対するユニタリ行列 U に対して、次の実数の α, β, γ, δ が存在する。

補題

以下のユニタリ行列もパウリ行列の積で表せる

Hadamard

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

π/8 ゲート

$T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\pi }/4}\end{array}\right)$

位相ゲート

$S=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \mathrm{i}\end{array}\right)$

制御Not

$\mathrm{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

Toffoli Gate の構成